Magische Quadrate

Konstruktion magischer Quadrate deren Ordnungszahl 6 oder 6 + n*4 ist


Magische Quadrate der Ordnungszahl 6, 10, 14, ... lassen sich ebenfalls in einem zweistufigen Verfahren konstruieren.

Jedes dieser Quadrate lässt sich in vier Teilquadrate zerlegen. Wir füllen zuerst das Teilquadrat in der linken oberen Hälfte mit den Zahlen eines magischen Quadrats der Ordnung n / 2. Im Beispiel ist es das magische Quadrat mit der Ordnungszahl 3. Dieses Quadrat endet mit der Zahl 9. Wir tragen nun die Zahl 10 im Teilquadrat in der rechten unteren Hälfte an der Position ein, an der im Teilquadrat links oben die Zahl 1 steht. Wir bilden nun in der der rechten unteren Hälfte ebenfalls ein magisches Quadrat der Ordnungszahl 3, nur mit dem Unterschied, dass dieses Quadrat mit der Zahl 10 beginnt und mit der Zahl 18 endet. Dazu brauchen wir nur zu jeder Zahl im Teilquadrat links oben den Differenzbetrag zwischen 1 und 10 also 9 hinzuaddieren. Das Teilquadrat rechts oben und links unten bilden wir analog.

     

In dem so entstandenen Quadrat ergeben die Spaltensummen schon die magische Summe. Nur die Zeilen und die Diagonalen stimmen noch nicht. Um dies zu korrigieren brauchen wir ein Vertauschungsschema. Im rechten Bild ist dies schon angedeutet durch die farbige Markierung. 4 und 31, 5 und 32 , 8 und 35 müssen jeweils die Plätze tauschen. Die Vertauschung erfolgt so, dass die Position der Zahlen, wenn wir die beiden Hälften getrennt betrachten, bei der Vertauschung erhalten bleibt. So erhalten wir das magische Quadrat mit der Ordnungszahl 6 und der magischen Summe 111.

Das oben angewandte Vertauschungsschema lässt sich nach festen Regeln erweitern. Hier die Schemata für die Ordnungszahlen 10 und 14. In der oberen und in der unteren Hälfte wird jeweils links und rechts eine Spalte und oben und unten eine Zeile hinzugefügt. Die mittlere Zeile der beiden Hälften ist auf der linken Seite um eine Spalte nach rechts versetzt.

Die Vertauschungen erfolgen wie beim magischen Quadrat der Ordnung 6 unter Beibehaltung der Position. Die gelb markierten Elemente der ersten Zeile der oberen Hälfte werden mit den blau markierten Elementen der ersten Zeile der unteren Hälfte vertauscht,  die gelb markierten Elemente der zweiten Zeile der oberen Hälfte werden mit den blau markierten Elementen der zweiten Zeile der unteren Hälfte vertauscht,  u.s.w.

Hier das Vertauschungsschema für das magische Quadrat der Ordnungszahl 10

 

Das Vertauschungsschema für das magische Quadrat der Ordnungszahl 14 ist analog aufgebaut, vorne und hinten um jeweils eine Spalte erweitert, sowie um zwei weitere Spalten in der Mitte, die nicht vertauscht werden. Entsprechend auch die Erweiterung der Zeilen um jeweils 2 oben und unten.

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